5～6年級的趣味數(shù)學(xué)游戲有什么？當(dāng)充滿樂趣的游戲遇見好玩的數(shù)學(xué)世界，會產(chǎn)生出怎樣令人驚喜的娛樂火花呢？這些游戲都是以不同的數(shù)學(xué)原理為基礎(chǔ)，精心打造出趣味滿滿的玩法。真心希望小朋友們都能去試一試，在游戲中盡情享受快樂時光。相信每一位小朋友在參與這些有趣的數(shù)學(xué)游戲時，都能收獲滿滿的歡樂。

1、《數(shù)字拼圖》

游戲?qū)鹘y(tǒng)數(shù)字益智玩法與巧妙謎題設(shè)計結(jié)合一起。游戲中由一個個小方格構(gòu)成挑戰(zhàn)的地方，玩家需依據(jù)左側(cè)和上方的數(shù)字提示，在對應(yīng)方格內(nèi)放置圓形標(biāo)記。當(dāng)所有數(shù)字都準(zhǔn)確歸位，一幅精美的畫面便會如魔法般漸漸浮現(xiàn)。游戲關(guān)卡設(shè)計豐富多樣，難度呈階梯式遞增，從非常簡單的入門關(guān)卡，到檢驗智力的高難度挑戰(zhàn)，滿足不同玩家的想法。每次成功解開謎題，都是對玩家智慧的一次嘉獎，同時也為迎接更高難度的挑戰(zhàn)筑牢根基。

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2、《數(shù)獨謎題挑戰(zhàn)》

游戲為玩家精心準(zhǔn)備了眾多趣味的數(shù)字解謎關(guān)卡，包含多個數(shù)獨謎題挑戰(zhàn)，每一關(guān)的難度都各不相同。從最基礎(chǔ)的關(guān)卡入手，逐步積累游戲經(jīng)驗，這樣在后續(xù)的挑戰(zhàn)中才能更加輕松手，最終順利地通關(guān)。游戲設(shè)計了許多不同的題目類型，形成了不同層次的難度體系。玩家可以按照自己的節(jié)奏，逐步征服每一個關(guān)卡，享受挑戰(zhàn)自我的樂趣。沒有額外的道具助力，完全依靠玩家的智慧和操作技巧來解開謎題，感受數(shù)學(xué)的獨特魅力。

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3、《幾何謎題》

以數(shù)學(xué)幾何為靈感的益智類手機(jī)游戲，巧妙運(yùn)用簡單的數(shù)學(xué)坐標(biāo)點與線段，構(gòu)建出各式各樣的圖形謎題，激發(fā)玩家對圖形的洞察力與解題思維的靈活性。游戲中設(shè)計了多樣化的幾何挑戰(zhàn)關(guān)卡，讓玩家在探索許多數(shù)學(xué)謎題的過程中，領(lǐng)略到線段和立體圖形的千變?nèi)f化。此外，游戲還內(nèi)置了社交功能，玩家可以與朋友們一起探討數(shù)學(xué)解題策略，分享幾何知識的心得。整體操作直觀易懂，更側(cè)重于培養(yǎng)孩子們的幾何思維與實際能力。

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4、《兒童益智數(shù)學(xué)》

玩家們能在愉快的氛圍中迎接各種趣味挑戰(zhàn)，通過游戲獲得真實的算術(shù)實踐體驗。游戲巧妙融合了生動的動畫元素與數(shù)字知識，助力孩子們在玩樂中拓展思維邊界。情景互動模式的設(shè)計，讓孩子們仿佛置身于數(shù)學(xué)的世界，以趣味的方式探索數(shù)學(xué)的奧秘，每過一關(guān)都是對數(shù)學(xué)認(rèn)知的一次深化。精心打造的各個關(guān)卡，不僅富有挑戰(zhàn)性，還充滿了樂趣。游戲還提供了沉浸式的學(xué)習(xí)場景，搭配著設(shè)計巧妙的圖片，以及寓教于樂的故事情節(jié)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動有趣。

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5、《我的數(shù)學(xué)大賽》

玩家可以通過解答算術(shù)題目來迅速得出答案并作出選擇，游戲的主界面設(shè)計得十分簡潔，只需輕輕一點開始，系統(tǒng)便會自動為玩家匹配適合的題目，讓玩家馬上投身于刺激的競賽之中。此外，游戲還包含了在線與離線兩種比賽模式供玩家選擇，滿足不同場景下的游戲需求。還貼心地準(zhǔn)備了個性化的彩色背景，使得游戲主題更加鮮明，前景內(nèi)容也更為突出。無需掌握任何復(fù)雜的操作技巧，只要數(shù)學(xué)運(yùn)算能力足夠出色，就能在游戲中非常輕松，享受運(yùn)算帶來的樂趣。

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6、《算數(shù)我最會》

游戲運(yùn)用寓教于樂的方式，幫助玩家們在輕松愉快的氛圍中掌握數(shù)學(xué)知識，同時鍛煉玩家的邏輯思維與腦力發(fā)展。游戲不僅能讓孩子們在玩耍中享受樂趣，還能自動記錄他們的游戲表現(xiàn)與進(jìn)步軌跡，以此激發(fā)孩子們持續(xù)學(xué)習(xí)的動力。還具備成績分享與排行榜功能，玩家們可以邀請好友一起參與，通過比拼成績來增加互動與趣味性。此外，游戲內(nèi)提供了多樣的主題背景和音效選擇，讓游戲體驗更加多彩。采用了經(jīng)典的挑戰(zhàn)模式，關(guān)卡難度會逐步提升，為玩家們帶來持續(xù)的新鮮感與挑戰(zhàn)性。

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7、《數(shù)學(xué)長征》

創(chuàng)新地將數(shù)學(xué)知識巧妙融入游戲環(huán)節(jié)，玩家能夠以闖關(guān)探險的形式開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅。游戲內(nèi)的題目類型多樣，所涉及的知識范疇極為廣泛，從基礎(chǔ)概念到復(fù)雜應(yīng)用均有涵蓋。每道題目都配備有細(xì)致入微的知識點講解，讓玩家在享受游戲樂趣的過程中，不知不覺地提升數(shù)學(xué)能力。玩家將化身為勇敢的探索者，踏上一段充滿挑戰(zhàn)與驚喜的數(shù)學(xué)冒險征程。當(dāng)玩家在游戲中不斷摸索，逐漸掌握高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，能夠順利攻克一個又一個難關(guān)。

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孩子們在玩這些5～6年級的趣味數(shù)學(xué)游戲的過程中，能夠在輕松愉悅的氛圍里，不知不覺地促進(jìn)智力的發(fā)育和提升。它們不僅趣味十足，還設(shè)置了豐富多樣的關(guān)卡，讓小朋友們在挑戰(zhàn)中感受游戲的魅力，收獲愉悅的體驗。

我數(shù)學(xué)特強(qiáng)《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》通解是存在的！如下：

《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》有沒有萬能公式呢？很久之前，一開始玩的時候，就想過這個問題，但面對復(fù)雜的變換路徑，我完全沒有頭緒。

最近的研究讓我找到了通用的解法，這不是用程序暴力搜索答案，也不是簡要的技巧，而是公式化的解法。另外，游戲里要求使用最少步數(shù)的最優(yōu)解，而通解一般不限步數(shù)。

介紹一下游戲。有三個自然數(shù)，玩家每次操作可以對這三個數(shù)進(jìn)行分配，我稱為偶變換和奇變換，偶變換是把一個偶數(shù)減半并將減半的部分加到另一個數(shù)上，奇變換是把一個奇數(shù)加到另一個數(shù)上，然后將其變?yōu)?。實際上，奇變換不限奇數(shù)，因為將偶數(shù)奇變換給另一個數(shù)，可以先一直偶變換直到變?yōu)槠鏀?shù)，再進(jìn)行奇變換。游戲的最終目標(biāo)是得到三個相等的數(shù)，用三元數(shù)組表示為{x, x, x}，不過顯然只要三個數(shù)里有x或2x就能得到{x, x, x}。

有通解的前提是有解，而有解的充要條件是，三個數(shù)的最大公約數(shù)g整除x（可表示為g|x），且三個數(shù)不是一零二奇。先證明必要性，og和og'分別為三個數(shù)變換前后的最大奇公約數(shù)，易證og|og'，如果og'=x，則og|x，也就是說如果得到了{(lán)x,x,x}，則有og|x，因此og|x是有解的必要條件。另外，由g=(a,b,c)（三個數(shù)a,b,c的最大公約數(shù)寫法為(a,b,c)），可得g|3x，令g=og*2^m，則(og*2^m)|3x，(2^m)|(3x/og)，而(2^m,3)=1，所以(2^m)|(x/og)，(og*2^m)|x，可得g|x也是有解的必要條件，其逆否命題為，若g不整除x，則無解，而(0,0,3x)不整除x，一零兩奇時只能奇變換為{0,0,3x}，兩者等價，所以三數(shù)不是一零兩奇也是有解的必要條件。至于充分性，如果我們找到了g|x且不是一零兩奇情況下的解法，就相當(dāng)于將其證明了。

通解討論的數(shù)組默認(rèn)已通過以上判別法篩選，以保證有解及證明充分性。但要注意，有解的數(shù)組在變換后不一定有解，通解的操作應(yīng)當(dāng)保證數(shù)組在變換后依然可解，時刻有g(shù)|x。

下面的是我早期想的通解，經(jīng)過計算機(jī)驗證，x為奇數(shù)時，x>17后出現(xiàn)反例：

一、有x或2x則結(jié)束。

三、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個數(shù)加給另外兩個數(shù)中的一個數(shù)，選擇三種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分配給兩奇數(shù)使其變?yōu)閮膳紨?shù)，選擇兩種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組。

四、若數(shù)組中沒有g(shù)*2^k滿足g*2^k>=x，k是自然數(shù)，則不斷在兩正數(shù)之間進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），如果找到g*2^k，則跳到步驟六。

五、在步驟四的循環(huán)中選擇含有數(shù)被4整除得奇數(shù)（且該數(shù)減半小于x）的數(shù)組（如果x是偶數(shù)則選擇被2整除的），將該數(shù)偶變換給0，再重新在兩數(shù)之間不斷進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），出現(xiàn)g*2^k則結(jié)束，將另兩個數(shù)合并。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/g，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將g*2^k分配給0（或者是步驟五中得到g*2^k一半的數(shù)），為0則分配給另一個數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

雖然有很多漏洞，但大框架是對的。在下文逐步分析后，我們將會推導(dǎo)出一個正確的通解。

直接得到通解可能是困難的，于是我想著要不然先解決什么樣的組合是可解的問題吧。反復(fù)觀察變換路徑后，我猜測g整除x應(yīng)該和有解相關(guān)，并且還發(fā)現(xiàn)了og在變換的過程中不變或變大，而且變換后的og整除變換前的og。

然后，我再想的是解決相對簡單的數(shù)組。在三個數(shù)之間變換是復(fù)雜的，暫未發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以我研究了只有一個數(shù)為0的數(shù)組。如果三個正數(shù)的數(shù)組都能轉(zhuǎn)變?yōu)橐涣銉烧?，那么通解問題就可以歸約到一零兩正如何變換出x或2x的問題。

我們需要保證三正變兩正后，g依然滿足g|x。如何操作呢？對于{a,b,c}，奇變換后得到的{0,a+b,c}, {0,b,a+c}和{a,0,b+c}三個數(shù)組中，一定有一個數(shù)組的g滿足g|x。

證明：3x的質(zhì)因數(shù)分解為m*3^n，(m,n)=1。先假設(shè)三個數(shù)組的g都不整除x。(a+b,c)=(3x,c)，(a+c,b)=(3x,b)，(b+c,a)=(3x,a)如果都不整除x，則(3^n)|(a,b,c)，又因為(a,b,c)|x，可得(3^n)|x，但3x=m*3^n，(m,3)=1，矛盾。

兩奇一偶時（該偶數(shù)不為0），以上的三種操作可能會讓數(shù)組變?yōu)橐涣銉善妫虼宋覀円獙υ擃惽闆r作調(diào)整，它有兩種變換：一、兩奇相加；二、偶數(shù)拆分為兩奇數(shù)，分別加給另外兩奇數(shù)。這兩種變換會使三正變一零兩偶，且至少有一種使得g|x，證明類似上一個，不再贅述。這樣的話，我們就將前面提到的可解的數(shù)組都轉(zhuǎn)化為一零兩正了。

前面說過{0,0,3x}是無解的，兩個正數(shù)不能奇變換，那當(dāng)然就只好偶變換了。當(dāng)x為奇數(shù)時，兩個數(shù)一奇一偶，偶變換的對象（即哪個數(shù)給另一個數(shù)一半）是確定的，得到的下一數(shù)組是唯一的。再加上數(shù)組的和是不變的，這樣的數(shù)組個數(shù)有限，所以，經(jīng)過有限次偶變換后，一定會回到原來的數(shù)組，形成偶變換循環(huán)。當(dāng)x為偶數(shù)時，偶變換的路徑是不唯一的，且不一定能不斷偶變換，變換后還可能是一零兩奇，比如{2,10}。x為偶數(shù)的這種情況，后續(xù)在改進(jìn)偶變換的時候再提及。

我們的目標(biāo)是在循環(huán)中找到t*2^k，t*2^k>=x，t|x，k>0，因為在有三個數(shù)時，將t*2^k偶變換分解，可以得到小于t*2^k任意一個自然數(shù)。但循環(huán)中并不一定有t*2^k（比如{5,28}），所以在早期的想法中，我想打破原有循環(huán)，把偶數(shù)偶變換分給第三個數(shù)，使得原來循環(huán)的兩個數(shù)進(jìn)入新的循環(huán)，以找到t*2^k。

在{a,b}的偶變換循環(huán)中，如果我們只關(guān)注其中一個數(shù)a，可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)在作如下變換：偶數(shù)時減半，奇數(shù)時加上sum再減半，sum=a+b。冰雹猜想里的變換會迭代至2^k，而這里，迭代至t*2^k，a和sum要滿足的所有條件是什么，是個open的問題。修改了幾次進(jìn)入新循環(huán)的方法后，程序依然發(fā)現(xiàn)反例。所以，探尋如何修正a和sum進(jìn)入新的含有t*2^k的循環(huán)，這條路暫時行不通。

不小于x的t*2^k一定和小于x的t*2^k在同一循環(huán)中，找到其中一個便能找到其余的t*2^k。但要得到新的循環(huán)，就要將參與偶變換循環(huán)的兩數(shù)之和sum減小，而最大的t*2^k滿足t*2^k sum/2。

這樣我們就有一個新的思路，先找到小于x的t*2k，再保持t*2^k不變，將sum增大使得sum>2x，進(jìn)行新一輪偶變換，得到不小于x的t*2^k。

在偶變換時，如果偶數(shù)減半后還是偶數(shù)，則將這一部分加到第三個數(shù)上，這樣我們就將前面總和不變的循環(huán)改成了總和遞減的。由于無論怎么變換三個數(shù)都必為自然數(shù)，循環(huán)的總和不能無限遞減，那它的下界是多少呢？當(dāng)不能再分配給第三個數(shù)時，總和不變，因此偶變換一次，對象就交換，此后的所有偶數(shù)除以2后都為奇數(shù)，假設(shè)(a,b)中a為偶數(shù)，此時偶數(shù)a的變換如下：

a

a/2

a/4+sum

a/8+sum/2

a/16+sum/4+sum

a/32+sum/8+sum/2

a/64+sum/16+sum/4+sum

...

第n個偶數(shù)和第n-1偶數(shù)的遞推式為x_n+1=x_n/4+sum，x_0=a

可得通式x_n=(a-4sum/3)/4^n+4sum/3

當(dāng)a>4sum/3時，x_n單調(diào)遞增，當(dāng)a<4sum/3時，x_n單調(diào)遞減，數(shù)組的大小是有限的，不能單調(diào)遞增或遞減，因此a=4sum/3=2a/3+2b/3，可得a=2b，偶變換循環(huán)的過程中，a和b的最大奇公約數(shù)og始終不變，又因為b是奇數(shù)，b和2b的最大奇公約數(shù)為b，所以，當(dāng)sum最小時，a=2b=2og。前面的三正變兩正保持了g|x，所以b|x。

當(dāng)x為奇數(shù)時，將{b,2b,3x-3b}轉(zhuǎn)化為{b,3x-2b,0}，再對兩正數(shù)偶變換即可得到t*2^k<=3x<=t*2^(k+1)，此時的t*2^k>=3x/2>x，可進(jìn)行二進(jìn)制分配。不過，我們不必操作至sum遞減至3b，如果過程中出現(xiàn)了t*2^k，若其不小于x自然不用說，若小于x，則將另兩個數(shù)合并再偶變換就能得到不小于x的。

當(dāng)x為偶數(shù)時，3x-3b為奇數(shù)，如果a>=x，則a二進(jìn)制分配即可得x，如果a 3x/2>b，讓a和3x-3b偶變換得到新的t*2^k，滿足t*2^k<=3x-b<=t*2^(k+1)，于是

t*2^k>=(3x-b)/2>=5x/4>x。同樣地，我們不一定要等sum減到3b，出現(xiàn)小于x的t*2^k時，t*2^k一定是循環(huán)中最大的，大于與它偶變換的奇數(shù)u，設(shè)第三個數(shù)為v，v是奇數(shù)，則由t*2^k x，讓t*2^k和v偶變換得到的新的最大的t*2^k滿足t*2^k>=(t*2^k+v)/2=(3x-u)/2>x。這樣一來，即使t*2^k

綜上，我們得到了一個通解：

一、有x或2x則結(jié)束。

二、數(shù)組中是否有q=t*2^k，其中t|x，且q>x，k>0（第一次找到q或者q>x，需要將另兩數(shù)合并），是則將q以外的另兩個數(shù)合并，跳至六

三、是否q

四、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個數(shù)加給另外兩個數(shù)中的一個數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分成奇數(shù)給兩奇數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組。

五、進(jìn)行步驟一二三，若偶變換的數(shù)不是偶數(shù)，則交換對象，一個偶數(shù)減半后，若參與偶變換的兩個數(shù)不都是奇數(shù)，則不斷進(jìn)行偶變換，否則分配給第三個數(shù)（如果已經(jīng)找到q則永遠(yuǎn)不再分配給第三個數(shù)），繼續(xù)五。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/t，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將q分配給0，為0則分配給另一個數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

至此，我們從理論上推導(dǎo)證明了通解的可行性，此外，我還寫了驗證該解法的cpp代碼，對0<=x<=1000的所有有解數(shù)組都進(jìn)行了驗證并且驗證成功。

當(dāng)然，也許還存在其他通解，我很期待看到新想法。

我數(shù)學(xué)特強(qiáng)《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》通解是存在的！如下：

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最近的研究讓我找到了通用的解法，這不是用程序暴力搜索答案，也不是簡要的技巧，而是公式化的解法。另外，游戲里要求使用最少步數(shù)的最優(yōu)解，而通解一般不限步數(shù)。

介紹一下游戲。有三個自然數(shù)，玩家每次操作可以對這三個數(shù)進(jìn)行分配，我稱為偶變換和奇變換，偶變換是把一個偶數(shù)減半并將減半的部分加到另一個數(shù)上，奇變換是把一個奇數(shù)加到另一個數(shù)上，然后將其變?yōu)?。實際上，奇變換不限奇數(shù)，因為將偶數(shù)奇變換給另一個數(shù)，可以先一直偶變換直到變?yōu)槠鏀?shù)，再進(jìn)行奇變換。游戲的最終目標(biāo)是得到三個相等的數(shù)，用三元數(shù)組表示為{x, x, x}，不過顯然只要三個數(shù)里有x或2x就能得到{x, x, x}。

有通解的前提是有解，而有解的充要條件是，三個數(shù)的最大公約數(shù)g整除x（可表示為g|x），且三個數(shù)不是一零二奇。先證明必要性，og和og'分別為三個數(shù)變換前后的最大奇公約數(shù)，易證og|og'，如果og'=x，則og|x，也就是說如果得到了{(lán)x,x,x}，則有og|x，因此og|x是有解的必要條件。另外，由g=(a,b,c)（三個數(shù)a,b,c的最大公約數(shù)寫法為(a,b,c)），可得g|3x，令g=og*2^m，則(og*2^m)|3x，(2^m)|(3x/og)，而(2^m,3)=1，所以(2^m)|(x/og)，(og*2^m)|x，可得g|x也是有解的必要條件，其逆否命題為，若g不整除x，則無解，而(0,0,3x)不整除x，一零兩奇時只能奇變換為{0,0,3x}，兩者等價，所以三數(shù)不是一零兩奇也是有解的必要條件。至于充分性，如果我們找到了g|x且不是一零兩奇情況下的解法，就相當(dāng)于將其證明了。

通解討論的數(shù)組默認(rèn)已通過以上判別法篩選，以保證有解及證明充分性。但要注意，有解的數(shù)組在變換后不一定有解，通解的操作應(yīng)當(dāng)保證數(shù)組在變換后依然可解，時刻有g(shù)|x。

下面的是我早期想的通解，經(jīng)過計算機(jī)驗證，x為奇數(shù)時，x>17后出現(xiàn)反例：

一、有x或2x則結(jié)束。

三、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個數(shù)加給另外兩個數(shù)中的一個數(shù)，選擇三種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分配給兩奇數(shù)使其變?yōu)閮膳紨?shù)，選擇兩種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組。

四、若數(shù)組中沒有g(shù)*2^k滿足g*2^k>=x，k是自然數(shù)，則不斷在兩正數(shù)之間進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），如果找到g*2^k，則跳到步驟六。

五、在步驟四的循環(huán)中選擇含有數(shù)被4整除得奇數(shù)（且該數(shù)減半小于x）的數(shù)組（如果x是偶數(shù)則選擇被2整除的），將該數(shù)偶變換給0，再重新在兩數(shù)之間不斷進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），出現(xiàn)g*2^k則結(jié)束，將另兩個數(shù)合并。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/g，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將g*2^k分配給0（或者是步驟五中得到g*2^k一半的數(shù)），為0則分配給另一個數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

雖然有很多漏洞，但大框架是對的。在下文逐步分析后，我們將會推導(dǎo)出一個正確的通解。

直接得到通解可能是困難的，于是我想著要不然先解決什么樣的組合是可解的問題吧。反復(fù)觀察變換路徑后，我猜測g整除x應(yīng)該和有解相關(guān)，并且還發(fā)現(xiàn)了og在變換的過程中不變或變大，而且變換后的og整除變換前的og。

然后，我再想的是解決相對簡單的數(shù)組。在三個數(shù)之間變換是復(fù)雜的，暫未發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以我研究了只有一個數(shù)為0的數(shù)組。如果三個正數(shù)的數(shù)組都能轉(zhuǎn)變?yōu)橐涣銉烧?，那么通解問題就可以歸約到一零兩正如何變換出x或2x的問題。

我們需要保證三正變兩正后，g依然滿足g|x。如何操作呢？對于{a,b,c}，奇變換后得到的{0,a+b,c}, {0,b,a+c}和{a,0,b+c}三個數(shù)組中，一定有一個數(shù)組的g滿足g|x。

證明：3x的質(zhì)因數(shù)分解為m*3^n，(m,n)=1。先假設(shè)三個數(shù)組的g都不整除x。(a+b,c)=(3x,c)，(a+c,b)=(3x,b)，(b+c,a)=(3x,a)如果都不整除x，則(3^n)|(a,b,c)，又因為(a,b,c)|x，可得(3^n)|x，但3x=m*3^n，(m,3)=1，矛盾。

兩奇一偶時（該偶數(shù)不為0），以上的三種操作可能會讓數(shù)組變?yōu)橐涣銉善?，因此我們要對該類情況作調(diào)整，它有兩種變換：一、兩奇相加；二、偶數(shù)拆分為兩奇數(shù)，分別加給另外兩奇數(shù)。這兩種變換會使三正變一零兩偶，且至少有一種使得g|x，證明類似上一個，不再贅述。這樣的話，我們就將前面提到的可解的數(shù)組都轉(zhuǎn)化為一零兩正了。

前面說過{0,0,3x}是無解的，兩個正數(shù)不能奇變換，那當(dāng)然就只好偶變換了。當(dāng)x為奇數(shù)時，兩個數(shù)一奇一偶，偶變換的對象（即哪個數(shù)給另一個數(shù)一半）是確定的，得到的下一數(shù)組是唯一的。再加上數(shù)組的和是不變的，這樣的數(shù)組個數(shù)有限，所以，經(jīng)過有限次偶變換后，一定會回到原來的數(shù)組，形成偶變換循環(huán)。當(dāng)x為偶數(shù)時，偶變換的路徑是不唯一的，且不一定能不斷偶變換，變換后還可能是一零兩奇，比如{2,10}。x為偶數(shù)的這種情況，后續(xù)在改進(jìn)偶變換的時候再提及。

我們的目標(biāo)是在循環(huán)中找到t*2^k，t*2^k>=x，t|x，k>0，因為在有三個數(shù)時，將t*2^k偶變換分解，可以得到小于t*2^k任意一個自然數(shù)。但循環(huán)中并不一定有t*2^k（比如{5,28}），所以在早期的想法中，我想打破原有循環(huán)，把偶數(shù)偶變換分給第三個數(shù)，使得原來循環(huán)的兩個數(shù)進(jìn)入新的循環(huán)，以找到t*2^k。

在{a,b}的偶變換循環(huán)中，如果我們只關(guān)注其中一個數(shù)a，可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)在作如下變換：偶數(shù)時減半，奇數(shù)時加上sum再減半，sum=a+b。冰雹猜想里的變換會迭代至2^k，而這里，迭代至t*2^k，a和sum要滿足的所有條件是什么，是個open的問題。修改了幾次進(jìn)入新循環(huán)的方法后，程序依然發(fā)現(xiàn)反例。所以，探尋如何修正a和sum進(jìn)入新的含有t*2^k的循環(huán)，這條路暫時行不通。

不小于x的t*2^k一定和小于x的t*2^k在同一循環(huán)中，找到其中一個便能找到其余的t*2^k。但要得到新的循環(huán)，就要將參與偶變換循環(huán)的兩數(shù)之和sum減小，而最大的t*2^k滿足t*2^k sum/2。

這樣我們就有一個新的思路，先找到小于x的t*2k，再保持t*2^k不變，將sum增大使得sum>2x，進(jìn)行新一輪偶變換，得到不小于x的t*2^k。

在偶變換時，如果偶數(shù)減半后還是偶數(shù)，則將這一部分加到第三個數(shù)上，這樣我們就將前面總和不變的循環(huán)改成了總和遞減的。由于無論怎么變換三個數(shù)都必為自然數(shù)，循環(huán)的總和不能無限遞減，那它的下界是多少呢？當(dāng)不能再分配給第三個數(shù)時，總和不變，因此偶變換一次，對象就交換，此后的所有偶數(shù)除以2后都為奇數(shù)，假設(shè)(a,b)中a為偶數(shù)，此時偶數(shù)a的變換如下：

a

a/2

a/4+sum

a/8+sum/2

a/16+sum/4+sum

a/32+sum/8+sum/2

a/64+sum/16+sum/4+sum

...

第n個偶數(shù)和第n-1偶數(shù)的遞推式為x_n+1=x_n/4+sum，x_0=a

可得通式x_n=(a-4sum/3)/4^n+4sum/3

當(dāng)a>4sum/3時，x_n單調(diào)遞增，當(dāng)a<4sum/3時，x_n單調(diào)遞減，數(shù)組的大小是有限的，不能單調(diào)遞增或遞減，因此a=4sum/3=2a/3+2b/3，可得a=2b，偶變換循環(huán)的過程中，a和b的最大奇公約數(shù)og始終不變，又因為b是奇數(shù)，b和2b的最大奇公約數(shù)為b，所以，當(dāng)sum最小時，a=2b=2og。前面的三正變兩正保持了g|x，所以b|x。

當(dāng)x為奇數(shù)時，將{b,2b,3x-3b}轉(zhuǎn)化為{b,3x-2b,0}，再對兩正數(shù)偶變換即可得到t*2^k<=3x<=t*2^(k+1)，此時的t*2^k>=3x/2>x，可進(jìn)行二進(jìn)制分配。不過，我們不必操作至sum遞減至3b，如果過程中出現(xiàn)了t*2^k，若其不小于x自然不用說，若小于x，則將另兩個數(shù)合并再偶變換就能得到不小于x的。

當(dāng)x為偶數(shù)時，3x-3b為奇數(shù)，如果a>=x，則a二進(jìn)制分配即可得x，如果a 3x/2>b，讓a和3x-3b偶變換得到新的t*2^k，滿足t*2^k<=3x-b<=t*2^(k+1)，于是

t*2^k>=(3x-b)/2>=5x/4>x。同樣地，我們不一定要等sum減到3b，出現(xiàn)小于x的t*2^k時，t*2^k一定是循環(huán)中最大的，大于與它偶變換的奇數(shù)u，設(shè)第三個數(shù)為v，v是奇數(shù)，則由t*2^k x，讓t*2^k和v偶變換得到的新的最大的t*2^k滿足t*2^k>=(t*2^k+v)/2=(3x-u)/2>x。這樣一來，即使t*2^k

綜上，我們得到了一個通解：

一、有x或2x則結(jié)束。

二、數(shù)組中是否有q=t*2^k，其中t|x，且q>x，k>0（第一次找到q或者q>x，需要將另兩數(shù)合并），是則將q以外的另兩個數(shù)合并，跳至六

三、是否q

四、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個數(shù)加給另外兩個數(shù)中的一個數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分成奇數(shù)給兩奇數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組。

五、進(jìn)行步驟一二三，若偶變換的數(shù)不是偶數(shù)，則交換對象，一個偶數(shù)減半后，若參與偶變換的兩個數(shù)不都是奇數(shù)，則不斷進(jìn)行偶變換，否則分配給第三個數(shù)（如果已經(jīng)找到q則永遠(yuǎn)不再分配給第三個數(shù)），繼續(xù)五。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/t，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將q分配給0，為0則分配給另一個數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

至此，我們從理論上推導(dǎo)證明了通解的可行性，此外，我還寫了驗證該解法的cpp代碼，對0<=x<=1000的所有有解數(shù)組都進(jìn)行了驗證并且驗證成功。

當(dāng)然，也許還存在其他通解，我很期待看到新想法。

在我們的日常生活中離不開數(shù)學(xué)，網(wǎng)上也有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的游戲，那么2023數(shù)學(xué)游戲大闖關(guān)有哪些？在游戲中可以幫助玩家開發(fā)大腦的思維，還有不同的關(guān)卡，可以在這里不斷的闖關(guān)，下面就是今天小編分享給大家好玩的數(shù)學(xué)游戲推薦。

1、《數(shù)獨大全》

這是一款適合任何年齡段的人玩的游戲，在游戲中可以進(jìn)入數(shù)字的天堂，各種不同的關(guān)卡設(shè)計，還有千變?nèi)f化的數(shù)字，都能讓玩家燃燒自己的大腦，在這里可以選擇四宮格的數(shù)字玩法，隨著越來越熟練之后，可以挑戰(zhàn)六宮格的數(shù)字計算玩法，在每一局當(dāng)中都需要在規(guī)定的時間里完成挑戰(zhàn)，可以隨著時間的緊迫性，不斷的超越自己的極限，在游戲中快速的轉(zhuǎn)動大腦思維。

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2、《數(shù)字運(yùn)算棋》

這款游戲中可以很好的鍛煉玩家的計算能力，在游戲中可以挑戰(zhàn)不同難度的關(guān)卡，而且每一個關(guān)卡當(dāng)中的玩法都不同，玩家可以操作數(shù)字在這里變魔法，運(yùn)用自己獨到的計算能力，可以迅速解答出需要的答案，在這里可以獲得極大的成就感，加減乘除任由玩家輕松的玩轉(zhuǎn)，在游戲中可以鍛煉自己成為數(shù)學(xué)小天才。

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3、《寶寶玩數(shù)字》

這是一款及其適合小孩子的數(shù)學(xué)思維游戲，可愛的動畫場景可以吸引小朋友的注意力，而且還有教讀數(shù)字的玩法，在這里可以從最基礎(chǔ)的學(xué)起，還有可愛的小動物陪伴玩家，通過小朋友去數(shù)小母雞下的蛋等，有趣的游戲互動玩法，可以激發(fā)小朋友的興趣，還有游泳池等不同的主題場景，可以自由的進(jìn)行切換，在快樂中可以學(xué)到很多的知識，在數(shù)學(xué)小農(nóng)場當(dāng)中開啟快樂的夏天。

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4、《奧特曼學(xué)數(shù)學(xué)》

在這款游戲中給玩家打造了一個生動有趣的學(xué)習(xí)場景，在這里有小朋友們崇拜的英雄奧特曼，可以隨時進(jìn)行打怪獸，但是每一個關(guān)卡當(dāng)中都要計算出一定得數(shù)學(xué)題，才可以擊敗小怪獸，而且還有多個不同難度的等級，在這里可以激發(fā)小朋友的勝負(fù)欲，快速的掌握計算的方法，營造一個快樂的學(xué)習(xí)環(huán)境。

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5、《超級數(shù)字》

在這里玩家可以進(jìn)行輕松的闖關(guān)，在游戲中結(jié)合了消除和數(shù)字的玩法，讓玩家能夠在游戲中掌握數(shù)學(xué)知識，還能體會到數(shù)學(xué)的魅力，每一個關(guān)卡當(dāng)中都有不同難度的數(shù)學(xué)題，只需要準(zhǔn)確的解答成功，就會成功的進(jìn)行消除，就可以在這里獲得一個生命值，每一次答錯就會扣除一個生命值，當(dāng)玩家沒有生命值的時候，則會闖關(guān)失敗。

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上面這幾款游戲就是今天小編分享給大家的2023數(shù)學(xué)游戲大闖關(guān)推薦，在這里玩家可以體驗有趣的數(shù)學(xué)世界，而且還有很多精彩的小游戲，都能輕松的嘗試，讓玩家可以在數(shù)字王國里度過快樂的夏天。

很多數(shù)學(xué)功課很好的玩家愛玩數(shù)學(xué)類游戲，經(jīng)常玩數(shù)學(xué)游戲可以讓大腦的靈活性得到提升，還可以讓玩家掌握數(shù)字的規(guī)律，那么流行的數(shù)學(xué)好玩的游戲有哪些?今天小編為大家?guī)淼氖怯腥さ臄?shù)學(xué)游戲大全，本篇文章中記載的數(shù)學(xué)游戲都十分好玩，數(shù)學(xué)小天才們不要錯過這些好游戲!

1、《數(shù)獨大全》

這是款鍛煉大家記憶力以及邏輯能力的數(shù)字類手游，游戲有著三種難度的數(shù)獨關(guān)卡隨你選擇，精簡的游戲畫面和好聽的背景音效可圈可點，是不少數(shù)學(xué)小天才非常喜歡玩的邏輯性游戲。玩家要在一個個空格之中填寫相應(yīng)的數(shù)字，將畫面中空白的區(qū)域填滿即可過關(guān)，看似簡單的玩法卻蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)知識，聰明的玩家還不下載這款數(shù)獨游戲試試！

》》》》》#數(shù)獨大全#《《《《《

2、《學(xué)算術(shù)》

這是款特別優(yōu)秀的數(shù)學(xué)類兒童游戲，游戲內(nèi)每一個關(guān)卡都跟數(shù)學(xué)知識有關(guān)，玩家們可以通過這款游戲?qū)W習(xí)數(shù)字換算、數(shù)學(xué)公式等知識。出色的題目設(shè)計、種類繁多的關(guān)卡都讓這款游戲的耐玩性提升不少，畫面的風(fēng)格和游戲玩法都較為簡單，學(xué)習(xí)和游戲相結(jié)合的模式讓本作散發(fā)出了獨特魅力，想要提升數(shù)學(xué)成績的小朋友們可以來試試。

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3、《魔法算術(shù)》

這是款畫面比較干凈的做題類數(shù)學(xué)游戲，游戲中的關(guān)卡都是由形形色色的數(shù)學(xué)題目組成的，從十以內(nèi)的加減法到各種應(yīng)用題應(yīng)有盡有。玩家每次打開游戲面對的都是不同的數(shù)學(xué)題目，這樣的隨機(jī)方式大大增加游戲的可玩性。這款數(shù)學(xué)類游戲操作挺簡單的，每個關(guān)卡的難度設(shè)置也都挺合理，學(xué)齡前的小朋友可以來體驗一下。

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4、《超級數(shù)字華容道》

華容道游戲的玩法大家應(yīng)該都有所耳聞，本作將數(shù)字圖案和華容道的游戲方式進(jìn)行了結(jié)合，游戲的質(zhì)量方面毋庸置疑，通過小小的2D游戲畫面能讓玩家掌握到找數(shù)字規(guī)律的知識。本作延續(xù)了華容道游戲的基礎(chǔ)移動方式，給玩家?guī)砹水悩拥臄?shù)字游戲體驗。清新簡約的游戲畫面搭配闖關(guān)類的玩法，一定會讓數(shù)學(xué)游戲愛好者愛不釋手。

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5、《對戰(zhàn)數(shù)字華容道》

這款游戲居然創(chuàng)新性地將華容道和數(shù)學(xué)知識融合了起來，這款游戲用數(shù)字替換了華容道中的小方塊，這樣新奇的游戲畫面給玩家?guī)硪环N耳目一新的感覺，許多數(shù)學(xué)天才對這款游戲抱有極大的興趣。對戰(zhàn)數(shù)字華容道的游戲界面簡約但并不粗糙，還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識，總的來說這是一款值得體驗的數(shù)字游戲佳作。

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以上就是五款名氣較大的數(shù)學(xué)類手游的介紹了，你也知道流行的數(shù)學(xué)好玩的游戲有哪些了吧，如果你想通過玩游戲來提升自己的數(shù)學(xué)成績，那么這些跟數(shù)學(xué)有關(guān)的手機(jī)游戲你都可以玩玩。

期待已久的手游數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗即將登陸九游，這款手機(jī)游戲吸引了大批玩家的關(guān)注，想下載這款游戲，有很多粉絲都在問九游小編數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗好玩嗎？數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗值不值得玩？現(xiàn)在就為大家來簡單分析下，看看這款游戲的玩法特點和游戲劇情介紹 。

數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗快速預(yù)約/下載地址（需優(yōu)先下載九游APP）：

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1、數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗簡要評析：

數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗是一款刺激和有趣的數(shù)學(xué)題闖關(guān)游戲，玩家需要通過解數(shù)學(xué)題目來打敗對手。游戲的背景是一場mathletics比賽，你需要用你的數(shù)學(xué)知識來勝過其他參賽者。數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗不僅可以提高玩家的數(shù)學(xué)技能，還能鍛煉玩家的戰(zhàn)略能力和思考能力。

2、數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗圖片欣賞：

通過上面的游戲介紹和圖片，可能大家對數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗有大致的了解了，不過這么游戲要怎么樣才能搶先體驗到呢？不用擔(dān)心，目前九游客戶端已經(jīng)開通了測試提醒了，通過在九游APP中搜索“數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗”，點擊右邊的【訂閱】或者是【開測提醒】，訂閱游戲就不會錯過最先的下載機(jī)會了咯！

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1、數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗簡要評析：

數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗是一款刺激和有趣的數(shù)學(xué)題闖關(guān)游戲，玩家需要通過解數(shù)學(xué)題目來打敗對手。游戲的背景是一場mathletics比賽，你需要用你的數(shù)學(xué)知識來勝過其他參賽者。數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗不僅可以提高玩家的數(shù)學(xué)技能，還能鍛煉玩家的戰(zhàn)略能力和思考能力。

2、數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗圖片欣賞：

通過上面的游戲介紹和圖片，可能大家對數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗有大致的了解了，不過這么游戲要怎么樣才能搶先體驗到呢？不用擔(dān)心，目前九游客戶端已經(jīng)開通了測試提醒了，通過在九游APP中搜索“數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗”，點擊右邊的【訂閱】或者是【開測提醒】，訂閱游戲就不會錯過最先的下載機(jī)會了咯！

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好了，小編為大家大家提供了這兩種教程是下載數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗最為直接方法哦，不知道大家有沒有清楚的知道呢？想要了解更多精彩內(nèi)容，不妨多多關(guān)注九游數(shù)學(xué)戰(zhàn)斗

數(shù)學(xué)對于大部分人來說既枯燥又難學(xué)，但同時人們又能夠在數(shù)學(xué)游戲中感受到數(shù)學(xué)的樂趣，于是很多人想要了解2022數(shù)學(xué)游戲有哪些。事實上，數(shù)學(xué)游戲不僅能夠鍛煉人們的邏輯思維能力，也能夠提升人們的數(shù)學(xué)興趣，今天小編就給大家介紹一些好玩的數(shù)學(xué)游戲，大家可以根據(jù)自己的喜好選擇一款。

1、《數(shù)字領(lǐng)主》

《數(shù)字領(lǐng)主》這個游戲的玩法非常簡單，在一張地圖上，玩家需要從一個點開始逐漸擴(kuò)張自己的領(lǐng)土，實現(xiàn)等級的提升。在這其中，并不只有簡單的領(lǐng)土擴(kuò)張，玩家還需要和其他玩家進(jìn)行對抗，打敗對手，感興趣的玩家快來試試吧！

》》》》》#數(shù)字領(lǐng)主#《《《《《

2、《不懂?dāng)?shù)學(xué)》

《不懂?dāng)?shù)學(xué)》這個游戲額規(guī)則很簡單，玩家需要將數(shù)字和運(yùn)算符號運(yùn)用起來，最終得到“24”這個數(shù)字?？雌饋砗孟窈唵?，但事實并非如此，玩家們還是需要發(fā)動腦筋好好思考。

》》》》》#不懂?dāng)?shù)學(xué)#《《《《《

3、《極智腦力》

在《極智腦力》游戲中，玩家既能夠提升自己的腦力，也可以增強(qiáng)自己的記憶能力，而且游戲還有簡單、限時、困難等幾種模式，受眾廣泛，是一款老少皆宜的益智類游戲。

》》》》》#極智腦力#《《《《《

4、《數(shù)學(xué)迷陣》

在《數(shù)學(xué)迷陣》中，玩家需要根據(jù)不同的算式來選擇對應(yīng)的方塊，規(guī)則很簡單，但玩起來并沒有那么容易，還是不能輕易掉以輕心。這個游戲能夠提升玩家的數(shù)學(xué)能力，以及邏輯思維能力，且游戲中涉及的小學(xué)和初中知識，特別適合學(xué)生們來鞏固數(shù)學(xué)知識。

》》》》》#數(shù)學(xué)迷陣#《《《《《

5、《開心數(shù)獨》

《開心數(shù)獨》最主要的玩法和《數(shù)獨》是一樣的，只不過其中并非只有九宮格，還有更多類型的宮格，而且級別也很多，從入門到復(fù)雜，可以說是老少皆宜。

》》》》》#開心數(shù)獨#《《《《《

6、《數(shù)字華容道數(shù)字方塊合并》

《數(shù)字華容道數(shù)字方塊合并》這個游戲包含多種益智類的游戲，比如“2048”“掃雷”“數(shù)字華容道”等等，玩家們在一個游戲里可以享受到多種游戲玩法，可以說是一種全新的體驗。

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7、《數(shù)學(xué)零點HD》

《數(shù)學(xué)零點HD》這個游戲的規(guī)則很簡單，就是將數(shù)字方塊和運(yùn)算符運(yùn)用起來，使之等于0，從而使方塊全部消失。剛開始的時候數(shù)字和運(yùn)算符都很少，所以很簡單，但是玩到后面就會發(fā)現(xiàn)越來越難，所以這是一款需要玩家集中注意力，動用腦力的游戲。

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以上就是小編給大家推薦的2022數(shù)學(xué)游戲有哪些，這一類游戲的畫面簡單，需要玩家有一定的邏輯能力和思維能力，對數(shù)學(xué)游戲感興趣的玩家還在等什么呢？趕緊點擊下載來試試看吧！

「我愛數(shù)學(xué)：MathMathMath」是一款寓教于樂的數(shù)學(xué)類游戲，畫風(fēng)比較學(xué)院，非常適合小朋友玩，在玩游戲的過程中不知不覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，我愛數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)使我快樂~

九游括三種模式：

多人游戲：在同一個iPad或者手機(jī)上盡快點擊正確的答案并收集積分，第一個拿到10分的贏得比賽。

青蛙游戲（單人游戲）：點擊正確的答案則青蛙就能吃到食物，否則就會失敗。

相機(jī)游戲（單人游戲）：- 同時改善你的健身和你的精神數(shù)學(xué)技能！游戲可以直接從相機(jī)圖像中檢測出你的動作！在相機(jī)前移動，并在空中觸摸正確的答案。使用iPad智能外蓋將iPad放在直立位置，然后在相機(jī)前方跳動，或?qū)⒃O(shè)備平放在桌子上，并將其中一根手指移動到相機(jī)前方。注意：僅適用于具有正面（面對面）相機(jī)的設(shè)備（iPad第2代和更新版，iPod第4代及更高版本）。

難得一見的寓教于樂的數(shù)學(xué)游戲，趕緊下載起來吧~