我數(shù)學(xué)特強(qiáng)《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》通解是存在的！如下：

《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》有沒有萬能公式呢？很久之前，一開始玩的時(shí)候，就想過這個(gè)問題，但面對(duì)復(fù)雜的變換路徑，我完全沒有頭緒。

最近的研究讓我找到了通用的解法，這不是用程序暴力搜索答案，也不是簡(jiǎn)要的技巧，而是公式化的解法。另外，游戲里要求使用最少步數(shù)的最優(yōu)解，而通解一般不限步數(shù)。

介紹一下游戲。有三個(gè)自然數(shù)，玩家每次操作可以對(duì)這三個(gè)數(shù)進(jìn)行分配，我稱為偶變換和奇變換，偶變換是把一個(gè)偶數(shù)減半并將減半的部分加到另一個(gè)數(shù)上，奇變換是把一個(gè)奇數(shù)加到另一個(gè)數(shù)上，然后將其變?yōu)?。實(shí)際上，奇變換不限奇數(shù)，因?yàn)閷⑴紨?shù)奇變換給另一個(gè)數(shù)，可以先一直偶變換直到變?yōu)槠鏀?shù)，再進(jìn)行奇變換。游戲的最終目標(biāo)是得到三個(gè)相等的數(shù)，用三元數(shù)組表示為{x, x, x}，不過顯然只要三個(gè)數(shù)里有x或2x就能得到{x, x, x}。

有通解的前提是有解，而有解的充要條件是，三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)g整除x（可表示為g|x），且三個(gè)數(shù)不是一零二奇。先證明必要性，og和og'分別為三個(gè)數(shù)變換前后的最大奇公約數(shù)，易證og|og'，如果og'=x，則og|x，也就是說如果得到了{(lán)x,x,x}，則有og|x，因此og|x是有解的必要條件。另外，由g=(a,b,c)（三個(gè)數(shù)a,b,c的最大公約數(shù)寫法為(a,b,c)），可得g|3x，令g=og*2^m，則(og*2^m)|3x，(2^m)|(3x/og)，而(2^m,3)=1，所以(2^m)|(x/og)，(og*2^m)|x，可得g|x也是有解的必要條件，其逆否命題為，若g不整除x，則無解，而(0,0,3x)不整除x，一零兩奇時(shí)只能奇變換為{0,0,3x}，兩者等價(jià)，所以三數(shù)不是一零兩奇也是有解的必要條件。至于充分性，如果我們找到了g|x且不是一零兩奇情況下的解法，就相當(dāng)于將其證明了。

通解討論的數(shù)組默認(rèn)已通過以上判別法篩選，以保證有解及證明充分性。但要注意，有解的數(shù)組在變換后不一定有解，通解的操作應(yīng)當(dāng)保證數(shù)組在變換后依然可解，時(shí)刻有g(shù)|x。

下面的是我早期想的通解，經(jīng)過計(jì)算機(jī)驗(yàn)證，x為奇數(shù)時(shí)，x>17后出現(xiàn)反例：

一、有x或2x則結(jié)束。

三、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個(gè)數(shù)加給另外兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，選擇三種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分配給兩奇數(shù)使其變?yōu)閮膳紨?shù)，選擇兩種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組。

四、若數(shù)組中沒有g(shù)*2^k滿足g*2^k>=x，k是自然數(shù)，則不斷在兩正數(shù)之間進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），如果找到g*2^k，則跳到步驟六。

五、在步驟四的循環(huán)中選擇含有數(shù)被4整除得奇數(shù)（且該數(shù)減半小于x）的數(shù)組（如果x是偶數(shù)則選擇被2整除的），將該數(shù)偶變換給0，再重新在兩數(shù)之間不斷進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），出現(xiàn)g*2^k則結(jié)束，將另兩個(gè)數(shù)合并。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/g，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將g*2^k分配給0（或者是步驟五中得到g*2^k一半的數(shù)），為0則分配給另一個(gè)數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

雖然有很多漏洞，但大框架是對(duì)的。在下文逐步分析后，我們將會(huì)推導(dǎo)出一個(gè)正確的通解。

直接得到通解可能是困難的，于是我想著要不然先解決什么樣的組合是可解的問題吧。反復(fù)觀察變換路徑后，我猜測(cè)g整除x應(yīng)該和有解相關(guān)，并且還發(fā)現(xiàn)了og在變換的過程中不變或變大，而且變換后的og整除變換前的og。

然后，我再想的是解決相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)組。在三個(gè)數(shù)之間變換是復(fù)雜的，暫未發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以我研究了只有一個(gè)數(shù)為0的數(shù)組。如果三個(gè)正數(shù)的數(shù)組都能轉(zhuǎn)變?yōu)橐涣銉烧?，那么通解問題就可以歸約到一零兩正如何變換出x或2x的問題。

我們需要保證三正變兩正后，g依然滿足g|x。如何操作呢？對(duì)于{a,b,c}，奇變換后得到的{0,a+b,c}, {0,b,a+c}和{a,0,b+c}三個(gè)數(shù)組中，一定有一個(gè)數(shù)組的g滿足g|x。

證明：3x的質(zhì)因數(shù)分解為m*3^n，(m,n)=1。先假設(shè)三個(gè)數(shù)組的g都不整除x。(a+b,c)=(3x,c)，(a+c,b)=(3x,b)，(b+c,a)=(3x,a)如果都不整除x，則(3^n)|(a,b,c)，又因?yàn)?a,b,c)|x，可得(3^n)|x，但3x=m*3^n，(m,3)=1，矛盾。

兩奇一偶時(shí)（該偶數(shù)不為0），以上的三種操作可能會(huì)讓數(shù)組變?yōu)橐涣銉善妫虼宋覀円獙?duì)該類情況作調(diào)整，它有兩種變換：一、兩奇相加；二、偶數(shù)拆分為兩奇數(shù)，分別加給另外兩奇數(shù)。這兩種變換會(huì)使三正變一零兩偶，且至少有一種使得g|x，證明類似上一個(gè)，不再贅述。這樣的話，我們就將前面提到的可解的數(shù)組都轉(zhuǎn)化為一零兩正了。

前面說過{0,0,3x}是無解的，兩個(gè)正數(shù)不能奇變換，那當(dāng)然就只好偶變換了。當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)一奇一偶，偶變換的對(duì)象（即哪個(gè)數(shù)給另一個(gè)數(shù)一半）是確定的，得到的下一數(shù)組是唯一的。再加上數(shù)組的和是不變的，這樣的數(shù)組個(gè)數(shù)有限，所以，經(jīng)過有限次偶變換后，一定會(huì)回到原來的數(shù)組，形成偶變換循環(huán)。當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，偶變換的路徑是不唯一的，且不一定能不斷偶變換，變換后還可能是一零兩奇，比如{2,10}。x為偶數(shù)的這種情況，后續(xù)在改進(jìn)偶變換的時(shí)候再提及。

我們的目標(biāo)是在循環(huán)中找到t*2^k，t*2^k>=x，t|x，k>0，因?yàn)樵谟腥齻€(gè)數(shù)時(shí)，將t*2^k偶變換分解，可以得到小于t*2^k任意一個(gè)自然數(shù)。但循環(huán)中并不一定有t*2^k（比如{5,28}），所以在早期的想法中，我想打破原有循環(huán)，把偶數(shù)偶變換分給第三個(gè)數(shù)，使得原來循環(huán)的兩個(gè)數(shù)進(jìn)入新的循環(huán)，以找到t*2^k。

在{a,b}的偶變換循環(huán)中，如果我們只關(guān)注其中一個(gè)數(shù)a，可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)在作如下變換：偶數(shù)時(shí)減半，奇數(shù)時(shí)加上sum再減半，sum=a+b。冰雹猜想里的變換會(huì)迭代至2^k，而這里，迭代至t*2^k，a和sum要滿足的所有條件是什么，是個(gè)open的問題。修改了幾次進(jìn)入新循環(huán)的方法后，程序依然發(fā)現(xiàn)反例。所以，探尋如何修正a和sum進(jìn)入新的含有t*2^k的循環(huán)，這條路暫時(shí)行不通。

不小于x的t*2^k一定和小于x的t*2^k在同一循環(huán)中，找到其中一個(gè)便能找到其余的t*2^k。但要得到新的循環(huán)，就要將參與偶變換循環(huán)的兩數(shù)之和sum減小，而最大的t*2^k滿足t*2^k sum/2。

這樣我們就有一個(gè)新的思路，先找到小于x的t*2k，再保持t*2^k不變，將sum增大使得sum>2x，進(jìn)行新一輪偶變換，得到不小于x的t*2^k。

在偶變換時(shí)，如果偶數(shù)減半后還是偶數(shù)，則將這一部分加到第三個(gè)數(shù)上，這樣我們就將前面總和不變的循環(huán)改成了總和遞減的。由于無論怎么變換三個(gè)數(shù)都必為自然數(shù)，循環(huán)的總和不能無限遞減，那它的下界是多少呢？當(dāng)不能再分配給第三個(gè)數(shù)時(shí)，總和不變，因此偶變換一次，對(duì)象就交換，此后的所有偶數(shù)除以2后都為奇數(shù)，假設(shè)(a,b)中a為偶數(shù)，此時(shí)偶數(shù)a的變換如下：

a

a/2

a/4+sum

a/8+sum/2

a/16+sum/4+sum

a/32+sum/8+sum/2

a/64+sum/16+sum/4+sum

...

第n個(gè)偶數(shù)和第n-1偶數(shù)的遞推式為x_n+1=x_n/4+sum，x_0=a

可得通式x_n=(a-4sum/3)/4^n+4sum/3

當(dāng)a>4sum/3時(shí)，x_n單調(diào)遞增，當(dāng)a<4sum/3時(shí)，x_n單調(diào)遞減，數(shù)組的大小是有限的，不能單調(diào)遞增或遞減，因此a=4sum/3=2a/3+2b/3，可得a=2b，偶變換循環(huán)的過程中，a和b的最大奇公約數(shù)og始終不變，又因?yàn)閎是奇數(shù)，b和2b的最大奇公約數(shù)為b，所以，當(dāng)sum最小時(shí)，a=2b=2og。前面的三正變兩正保持了g|x，所以b|x。

當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，將{b,2b,3x-3b}轉(zhuǎn)化為{b,3x-2b,0}，再對(duì)兩正數(shù)偶變換即可得到t*2^k<=3x<=t*2^(k+1)，此時(shí)的t*2^k>=3x/2>x，可進(jìn)行二進(jìn)制分配。不過，我們不必操作至sum遞減至3b，如果過程中出現(xiàn)了t*2^k，若其不小于x自然不用說，若小于x，則將另兩個(gè)數(shù)合并再偶變換就能得到不小于x的。

當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，3x-3b為奇數(shù)，如果a>=x，則a二進(jìn)制分配即可得x，如果a 3x/2>b，讓a和3x-3b偶變換得到新的t*2^k，滿足t*2^k<=3x-b<=t*2^(k+1)，于是

t*2^k>=(3x-b)/2>=5x/4>x。同樣地，我們不一定要等sum減到3b，出現(xiàn)小于x的t*2^k時(shí)，t*2^k一定是循環(huán)中最大的，大于與它偶變換的奇數(shù)u，設(shè)第三個(gè)數(shù)為v，v是奇數(shù)，則由t*2^k x，讓t*2^k和v偶變換得到的新的最大的t*2^k滿足t*2^k>=(t*2^k+v)/2=(3x-u)/2>x。這樣一來，即使t*2^k

綜上，我們得到了一個(gè)通解：

一、有x或2x則結(jié)束。

二、數(shù)組中是否有q=t*2^k，其中t|x，且q>x，k>0（第一次找到q或者q>x，需要將另兩數(shù)合并），是則將q以外的另兩個(gè)數(shù)合并，跳至六

三、是否q

四、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個(gè)數(shù)加給另外兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分成奇數(shù)給兩奇數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組。

五、進(jìn)行步驟一二三，若偶變換的數(shù)不是偶數(shù)，則交換對(duì)象，一個(gè)偶數(shù)減半后，若參與偶變換的兩個(gè)數(shù)不都是奇數(shù)，則不斷進(jìn)行偶變換，否則分配給第三個(gè)數(shù)（如果已經(jīng)找到q則永遠(yuǎn)不再分配給第三個(gè)數(shù)），繼續(xù)五。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/t，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將q分配給0，為0則分配給另一個(gè)數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

至此，我們從理論上推導(dǎo)證明了通解的可行性，此外，我還寫了驗(yàn)證該解法的cpp代碼，對(duì)0<=x<=1000的所有有解數(shù)組都進(jìn)行了驗(yàn)證并且驗(yàn)證成功。

當(dāng)然，也許還存在其他通解，我很期待看到新想法。

我數(shù)學(xué)特強(qiáng)《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》通解是存在的！如下：

《我數(shù)學(xué)特強(qiáng)》有沒有萬能公式呢？很久之前，一開始玩的時(shí)候，就想過這個(gè)問題，但面對(duì)復(fù)雜的變換路徑，我完全沒有頭緒。

最近的研究讓我找到了通用的解法，這不是用程序暴力搜索答案，也不是簡(jiǎn)要的技巧，而是公式化的解法。另外，游戲里要求使用最少步數(shù)的最優(yōu)解，而通解一般不限步數(shù)。

介紹一下游戲。有三個(gè)自然數(shù)，玩家每次操作可以對(duì)這三個(gè)數(shù)進(jìn)行分配，我稱為偶變換和奇變換，偶變換是把一個(gè)偶數(shù)減半并將減半的部分加到另一個(gè)數(shù)上，奇變換是把一個(gè)奇數(shù)加到另一個(gè)數(shù)上，然后將其變?yōu)?。實(shí)際上，奇變換不限奇數(shù)，因?yàn)閷⑴紨?shù)奇變換給另一個(gè)數(shù)，可以先一直偶變換直到變?yōu)槠鏀?shù)，再進(jìn)行奇變換。游戲的最終目標(biāo)是得到三個(gè)相等的數(shù)，用三元數(shù)組表示為{x, x, x}，不過顯然只要三個(gè)數(shù)里有x或2x就能得到{x, x, x}。

有通解的前提是有解，而有解的充要條件是，三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)g整除x（可表示為g|x），且三個(gè)數(shù)不是一零二奇。先證明必要性，og和og'分別為三個(gè)數(shù)變換前后的最大奇公約數(shù)，易證og|og'，如果og'=x，則og|x，也就是說如果得到了{(lán)x,x,x}，則有og|x，因此og|x是有解的必要條件。另外，由g=(a,b,c)（三個(gè)數(shù)a,b,c的最大公約數(shù)寫法為(a,b,c)），可得g|3x，令g=og*2^m，則(og*2^m)|3x，(2^m)|(3x/og)，而(2^m,3)=1，所以(2^m)|(x/og)，(og*2^m)|x，可得g|x也是有解的必要條件，其逆否命題為，若g不整除x，則無解，而(0,0,3x)不整除x，一零兩奇時(shí)只能奇變換為{0,0,3x}，兩者等價(jià)，所以三數(shù)不是一零兩奇也是有解的必要條件。至于充分性，如果我們找到了g|x且不是一零兩奇情況下的解法，就相當(dāng)于將其證明了。

通解討論的數(shù)組默認(rèn)已通過以上判別法篩選，以保證有解及證明充分性。但要注意，有解的數(shù)組在變換后不一定有解，通解的操作應(yīng)當(dāng)保證數(shù)組在變換后依然可解，時(shí)刻有g(shù)|x。

下面的是我早期想的通解，經(jīng)過計(jì)算機(jī)驗(yàn)證，x為奇數(shù)時(shí)，x>17后出現(xiàn)反例：

一、有x或2x則結(jié)束。

三、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個(gè)數(shù)加給另外兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，選擇三種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分配給兩奇數(shù)使其變?yōu)閮膳紨?shù)，選擇兩種操作進(jìn)行后g整除x的數(shù)組。

四、若數(shù)組中沒有g(shù)*2^k滿足g*2^k>=x，k是自然數(shù)，則不斷在兩正數(shù)之間進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），如果找到g*2^k，則跳到步驟六。

五、在步驟四的循環(huán)中選擇含有數(shù)被4整除得奇數(shù)（且該數(shù)減半小于x）的數(shù)組（如果x是偶數(shù)則選擇被2整除的），將該數(shù)偶變換給0，再重新在兩數(shù)之間不斷進(jìn)行偶變換（如果x是偶數(shù)，則需要保證兩數(shù)都是偶數(shù)），出現(xiàn)g*2^k則結(jié)束，將另兩個(gè)數(shù)合并。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/g，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將g*2^k分配給0（或者是步驟五中得到g*2^k一半的數(shù)），為0則分配給另一個(gè)數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

雖然有很多漏洞，但大框架是對(duì)的。在下文逐步分析后，我們將會(huì)推導(dǎo)出一個(gè)正確的通解。

直接得到通解可能是困難的，于是我想著要不然先解決什么樣的組合是可解的問題吧。反復(fù)觀察變換路徑后，我猜測(cè)g整除x應(yīng)該和有解相關(guān)，并且還發(fā)現(xiàn)了og在變換的過程中不變或變大，而且變換后的og整除變換前的og。

然后，我再想的是解決相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)組。在三個(gè)數(shù)之間變換是復(fù)雜的，暫未發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以我研究了只有一個(gè)數(shù)為0的數(shù)組。如果三個(gè)正數(shù)的數(shù)組都能轉(zhuǎn)變?yōu)橐涣銉烧?，那么通解問題就可以歸約到一零兩正如何變換出x或2x的問題。

我們需要保證三正變兩正后，g依然滿足g|x。如何操作呢？對(duì)于{a,b,c}，奇變換后得到的{0,a+b,c}, {0,b,a+c}和{a,0,b+c}三個(gè)數(shù)組中，一定有一個(gè)數(shù)組的g滿足g|x。

證明：3x的質(zhì)因數(shù)分解為m*3^n，(m,n)=1。先假設(shè)三個(gè)數(shù)組的g都不整除x。(a+b,c)=(3x,c)，(a+c,b)=(3x,b)，(b+c,a)=(3x,a)如果都不整除x，則(3^n)|(a,b,c)，又因?yàn)?a,b,c)|x，可得(3^n)|x，但3x=m*3^n，(m,3)=1，矛盾。

兩奇一偶時(shí)（該偶數(shù)不為0），以上的三種操作可能會(huì)讓數(shù)組變?yōu)橐涣銉善?，因此我們要?duì)該類情況作調(diào)整，它有兩種變換：一、兩奇相加；二、偶數(shù)拆分為兩奇數(shù)，分別加給另外兩奇數(shù)。這兩種變換會(huì)使三正變一零兩偶，且至少有一種使得g|x，證明類似上一個(gè)，不再贅述。這樣的話，我們就將前面提到的可解的數(shù)組都轉(zhuǎn)化為一零兩正了。

前面說過{0,0,3x}是無解的，兩個(gè)正數(shù)不能奇變換，那當(dāng)然就只好偶變換了。當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)一奇一偶，偶變換的對(duì)象（即哪個(gè)數(shù)給另一個(gè)數(shù)一半）是確定的，得到的下一數(shù)組是唯一的。再加上數(shù)組的和是不變的，這樣的數(shù)組個(gè)數(shù)有限，所以，經(jīng)過有限次偶變換后，一定會(huì)回到原來的數(shù)組，形成偶變換循環(huán)。當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，偶變換的路徑是不唯一的，且不一定能不斷偶變換，變換后還可能是一零兩奇，比如{2,10}。x為偶數(shù)的這種情況，后續(xù)在改進(jìn)偶變換的時(shí)候再提及。

我們的目標(biāo)是在循環(huán)中找到t*2^k，t*2^k>=x，t|x，k>0，因?yàn)樵谟腥齻€(gè)數(shù)時(shí)，將t*2^k偶變換分解，可以得到小于t*2^k任意一個(gè)自然數(shù)。但循環(huán)中并不一定有t*2^k（比如{5,28}），所以在早期的想法中，我想打破原有循環(huán)，把偶數(shù)偶變換分給第三個(gè)數(shù)，使得原來循環(huán)的兩個(gè)數(shù)進(jìn)入新的循環(huán)，以找到t*2^k。

在{a,b}的偶變換循環(huán)中，如果我們只關(guān)注其中一個(gè)數(shù)a，可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)在作如下變換：偶數(shù)時(shí)減半，奇數(shù)時(shí)加上sum再減半，sum=a+b。冰雹猜想里的變換會(huì)迭代至2^k，而這里，迭代至t*2^k，a和sum要滿足的所有條件是什么，是個(gè)open的問題。修改了幾次進(jìn)入新循環(huán)的方法后，程序依然發(fā)現(xiàn)反例。所以，探尋如何修正a和sum進(jìn)入新的含有t*2^k的循環(huán)，這條路暫時(shí)行不通。

不小于x的t*2^k一定和小于x的t*2^k在同一循環(huán)中，找到其中一個(gè)便能找到其余的t*2^k。但要得到新的循環(huán)，就要將參與偶變換循環(huán)的兩數(shù)之和sum減小，而最大的t*2^k滿足t*2^k sum/2。

這樣我們就有一個(gè)新的思路，先找到小于x的t*2k，再保持t*2^k不變，將sum增大使得sum>2x，進(jìn)行新一輪偶變換，得到不小于x的t*2^k。

在偶變換時(shí)，如果偶數(shù)減半后還是偶數(shù)，則將這一部分加到第三個(gè)數(shù)上，這樣我們就將前面總和不變的循環(huán)改成了總和遞減的。由于無論怎么變換三個(gè)數(shù)都必為自然數(shù)，循環(huán)的總和不能無限遞減，那它的下界是多少呢？當(dāng)不能再分配給第三個(gè)數(shù)時(shí)，總和不變，因此偶變換一次，對(duì)象就交換，此后的所有偶數(shù)除以2后都為奇數(shù)，假設(shè)(a,b)中a為偶數(shù)，此時(shí)偶數(shù)a的變換如下：

a

a/2

a/4+sum

a/8+sum/2

a/16+sum/4+sum

a/32+sum/8+sum/2

a/64+sum/16+sum/4+sum

...

第n個(gè)偶數(shù)和第n-1偶數(shù)的遞推式為x_n+1=x_n/4+sum，x_0=a

可得通式x_n=(a-4sum/3)/4^n+4sum/3

當(dāng)a>4sum/3時(shí)，x_n單調(diào)遞增，當(dāng)a<4sum/3時(shí)，x_n單調(diào)遞減，數(shù)組的大小是有限的，不能單調(diào)遞增或遞減，因此a=4sum/3=2a/3+2b/3，可得a=2b，偶變換循環(huán)的過程中，a和b的最大奇公約數(shù)og始終不變，又因?yàn)閎是奇數(shù)，b和2b的最大奇公約數(shù)為b，所以，當(dāng)sum最小時(shí)，a=2b=2og。前面的三正變兩正保持了g|x，所以b|x。

當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，將{b,2b,3x-3b}轉(zhuǎn)化為{b,3x-2b,0}，再對(duì)兩正數(shù)偶變換即可得到t*2^k<=3x<=t*2^(k+1)，此時(shí)的t*2^k>=3x/2>x，可進(jìn)行二進(jìn)制分配。不過，我們不必操作至sum遞減至3b，如果過程中出現(xiàn)了t*2^k，若其不小于x自然不用說，若小于x，則將另兩個(gè)數(shù)合并再偶變換就能得到不小于x的。

當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，3x-3b為奇數(shù)，如果a>=x，則a二進(jìn)制分配即可得x，如果a 3x/2>b，讓a和3x-3b偶變換得到新的t*2^k，滿足t*2^k<=3x-b<=t*2^(k+1)，于是

t*2^k>=(3x-b)/2>=5x/4>x。同樣地，我們不一定要等sum減到3b，出現(xiàn)小于x的t*2^k時(shí)，t*2^k一定是循環(huán)中最大的，大于與它偶變換的奇數(shù)u，設(shè)第三個(gè)數(shù)為v，v是奇數(shù)，則由t*2^k x，讓t*2^k和v偶變換得到的新的最大的t*2^k滿足t*2^k>=(t*2^k+v)/2=(3x-u)/2>x。這樣一來，即使t*2^k

綜上，我們得到了一個(gè)通解：

一、有x或2x則結(jié)束。

二、數(shù)組中是否有q=t*2^k，其中t|x，且q>x，k>0（第一次找到q或者q>x，需要將另兩數(shù)合并），是則將q以外的另兩個(gè)數(shù)合并，跳至六

三、是否q

四、若三數(shù)都是正數(shù)，且不是兩奇一偶，則嘗試將其中一個(gè)數(shù)加給另外兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組；若三數(shù)都是正數(shù)，且兩奇一偶，則將兩奇數(shù)相加，或?qū)⑴紨?shù)分成奇數(shù)給兩奇數(shù)，選擇其中g(shù)整除x的數(shù)組。

五、進(jìn)行步驟一二三，若偶變換的數(shù)不是偶數(shù)，則交換對(duì)象，一個(gè)偶數(shù)減半后，若參與偶變換的兩個(gè)數(shù)不都是奇數(shù)，則不斷進(jìn)行偶變換，否則分配給第三個(gè)數(shù)（如果已經(jīng)找到q則永遠(yuǎn)不再分配給第三個(gè)數(shù)），繼續(xù)五。

六、用二進(jìn)制數(shù)表示x/t，在左邊補(bǔ)充0直到位數(shù)等于k，從最高位到最低位，若為1則將q分配給0，為0則分配給另一個(gè)數(shù)。這樣就得到了x，結(jié)束。

至此，我們從理論上推導(dǎo)證明了通解的可行性，此外，我還寫了驗(yàn)證該解法的cpp代碼，對(duì)0<=x<=1000的所有有解數(shù)組都進(jìn)行了驗(yàn)證并且驗(yàn)證成功。

當(dāng)然，也許還存在其他通解，我很期待看到新想法。

隨著科技的不斷發(fā)展，機(jī)器人玩法已經(jīng)成為了現(xiàn)代社會(huì)中越來越熱門的話題。從工業(yè)制造到醫(yī)療服務(wù)，再到軍事領(lǐng)域，機(jī)器人的身影越來越廣泛。而對(duì)于普通人來說，了解機(jī)器人玩法不僅可以增加生活的樂趣，還可以為未來的職業(yè)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文將從機(jī)器人玩法的探索與實(shí)踐的角度出發(fā)，介紹機(jī)器人玩法的相關(guān)知識(shí)，讓讀者更深入地了解機(jī)器人玩法的魅力。

機(jī)器人玩法的探索

機(jī)器人玩法是個(gè)涉及多個(gè)領(lǐng)域的交叉學(xué)科，其中包括機(jī)械工程電子工程計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。在機(jī)器人玩法的探索中，我們需要了解機(jī)器人的基本原理機(jī)械結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)等方面的知識(shí)。還需要了解不同領(lǐng)域機(jī)器人的應(yīng)用場(chǎng)景技術(shù)難點(diǎn)以及解決方案。

在探索機(jī)器人玩法的過程中，我們可以通過閱讀相關(guān)書籍參加專業(yè)培訓(xùn)課程參觀機(jī)器人展覽等方式來獲取更多的知識(shí)和信息。我們還可以關(guān)注些機(jī)器人相關(guān)的社交媒體賬號(hào)論壇等，了解最新的技術(shù)進(jìn)展行業(yè)新聞等。

機(jī)器人玩法的實(shí)踐

機(jī)器人玩法的實(shí)踐是指通過實(shí)際操作來了解機(jī)器人的性能功能等方面的知識(shí)。在實(shí)踐中，我們可以根據(jù)機(jī)器人的類型用途等來選擇不同的實(shí)踐方式。例如，對(duì)于工業(yè)機(jī)器人，我們可以通過觀察其操作流程了解其工作效率等方式來進(jìn)行實(shí)踐。對(duì)于服務(wù)機(jī)器人，我們可以體驗(yàn)其提供的服務(wù)了解其交互能力等方面的知識(shí)。

在機(jī)器人玩法的實(shí)踐中，我們需要注意安全。由于機(jī)器人具有定的危險(xiǎn)性，因此在進(jìn)行實(shí)踐時(shí)應(yīng)該采取必要的安全措施，如穿戴防護(hù)裝備設(shè)置安全距離等。我們還需要注意對(duì)機(jī)器人的維護(hù)保養(yǎng)等方面的，以確保機(jī)器人的正常運(yùn)行和使用壽命。

機(jī)器人玩法的應(yīng)用

機(jī)器人玩法在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如，在工業(yè)制造領(lǐng)域，機(jī)器人可以完成生產(chǎn)線上的重復(fù)性工作提高工作效率和產(chǎn)品質(zhì)量。在醫(yī)療服務(wù)領(lǐng)域，機(jī)器人可以協(xié)助醫(yī)生進(jìn)行手術(shù)操作減輕醫(yī)護(hù)人員的工作負(fù)擔(dān)等。在軍事領(lǐng)域，機(jī)器人可以執(zhí)行偵察搜救等危險(xiǎn)任務(wù)保護(hù)士兵的生命安全等。

除了以上領(lǐng)域，機(jī)器人玩法還可以應(yīng)用于服務(wù)行業(yè)娛樂行業(yè)等。例如，服務(wù)機(jī)器人可以為客戶提供自主點(diǎn)餐送餐等服務(wù)，提高餐廳的效率和客戶體驗(yàn)。娛樂機(jī)器人則可以為客戶提供游戲跳舞等娛樂項(xiàng)目，增加客戶的樂趣和體驗(yàn)。

讀者可以更深入地了解機(jī)器人玩法的相關(guān)知識(shí)。從探索機(jī)器人玩法的基本原理機(jī)械結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)等方面入手，到實(shí)踐機(jī)器人玩法的性能功能等方面，最后了解機(jī)器人玩法在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用場(chǎng)景技術(shù)難點(diǎn)以及解決方案。希望讀者能夠通過本文的學(xué)習(xí)，更好地掌握機(jī)器人玩法的相關(guān)知識(shí)，為未來的職業(yè)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。也期望讀者能夠關(guān)注機(jī)器人玩法的最新技術(shù)進(jìn)展和行業(yè)新聞，以便更好地把握這個(gè)領(lǐng)域的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

期待已久的手游野外生存實(shí)踐即將登陸九游，這款手機(jī)游戲吸引了大批玩家的關(guān)注，想下載這款游戲，有很多粉絲都在問九游小編野外生存實(shí)踐好玩嗎？野外生存實(shí)踐值不值得玩？現(xiàn)在就為大家來簡(jiǎn)單分析下，看看這款游戲的玩法特點(diǎn)和游戲劇情介紹 。

野外生存實(shí)踐快速預(yù)約/下載地址（需優(yōu)先下載九游APP）：

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1、野外生存實(shí)踐簡(jiǎn)要評(píng)析：

非常棒的情況室逃生經(jīng)驗(yàn),激動(dòng)的室逃脫類型的新游戲的游戲,很棒,這是一種新的 3D 房間逃脫游戲.為逃出房間或這種仿真環(huán)境,您需要的解決方案不同的任務(wù).所以,你可以發(fā)現(xiàn)不同的對(duì)象合并這些項(xiàng)目成功逃出這里.分庭逃脫游戲,大的神秘問題惹你的腦,很有挑戰(zhàn)性的神秘問題,游戲的目的是開著的門.得到自由,使用所有隱藏的對(duì)象來解決難題在會(huì)議廳,進(jìn)入隔壁的房間里或下一個(gè)仿真環(huán)境.在這個(gè)充滿樂趣,令人上癮,自由和流行的益智游戲,挑戰(zhàn).操作非常簡(jiǎn)單,通過一系列操作,單擊,幻燈片,g-傳感器,為游戲.每個(gè)場(chǎng)景是一道難題,每個(gè)門是一個(gè)謎,線索留在現(xiàn)場(chǎng)通過游戲破解打開門,很多很難的益智游戲,不斷更新.在這有趣,令人上癮,自由和最受歡迎的益智游戲,挑戰(zhàn)自己.行使的分析和推理技巧,你可以在你的電話上播放或平板電腦,無論在那里,你可以體驗(yàn)很有趣,如果你覺得這好笑,或你可以它分享給你的朋友,你可以僥幸嗎?我們開始吧.
游戲特色: ↗ 心理訓(xùn)練!
↗ 流體運(yùn)動(dòng)!
↗ 智能手機(jī)拼圖!
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↗ 華麗的圖形和不同主題房間!
↗ 不斷更新的新房間!
↗ 是免費(fèi)的!
過來試試!

2、野外生存實(shí)踐圖片欣賞：

通過上面的游戲介紹和圖片，可能大家對(duì)野外生存實(shí)踐有大致的了解了，不過這么游戲要怎么樣才能搶先體驗(yàn)到呢？不用擔(dān)心，目前九游客戶端已經(jīng)開通了測(cè)試提醒了，通過在九游APP中搜索“野外生存實(shí)踐”，點(diǎn)擊右邊的【訂閱】或者是【開測(cè)提醒】，訂閱游戲就不會(huì)錯(cuò)過最先的下載機(jī)會(huì)了咯！

數(shù)學(xué)對(duì)于大部分人來說既枯燥又難學(xué)，但同時(shí)人們又能夠在數(shù)學(xué)游戲中感受到數(shù)學(xué)的樂趣，于是很多人想要了解2022數(shù)學(xué)游戲有哪些。事實(shí)上，數(shù)學(xué)游戲不僅能夠鍛煉人們的邏輯思維能力，也能夠提升人們的數(shù)學(xué)興趣，今天小編就給大家介紹一些好玩的數(shù)學(xué)游戲，大家可以根據(jù)自己的喜好選擇一款。

1、《數(shù)字領(lǐng)主》

《數(shù)字領(lǐng)主》這個(gè)游戲的玩法非常簡(jiǎn)單，在一張地圖上，玩家需要從一個(gè)點(diǎn)開始逐漸擴(kuò)張自己的領(lǐng)土，實(shí)現(xiàn)等級(jí)的提升。在這其中，并不只有簡(jiǎn)單的領(lǐng)土擴(kuò)張，玩家還需要和其他玩家進(jìn)行對(duì)抗，打敗對(duì)手，感興趣的玩家快來試試吧！

》》》》》#數(shù)字領(lǐng)主#《《《《《

2、《不懂?dāng)?shù)學(xué)》

《不懂?dāng)?shù)學(xué)》這個(gè)游戲額規(guī)則很簡(jiǎn)單，玩家需要將數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)運(yùn)用起來，最終得到“24”這個(gè)數(shù)字?？雌饋砗孟窈?jiǎn)單，但事實(shí)并非如此，玩家們還是需要發(fā)動(dòng)腦筋好好思考。

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3、《極智腦力》

在《極智腦力》游戲中，玩家既能夠提升自己的腦力，也可以增強(qiáng)自己的記憶能力，而且游戲還有簡(jiǎn)單、限時(shí)、困難等幾種模式，受眾廣泛，是一款老少皆宜的益智類游戲。

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4、《數(shù)學(xué)迷陣》

在《數(shù)學(xué)迷陣》中，玩家需要根據(jù)不同的算式來選擇對(duì)應(yīng)的方塊，規(guī)則很簡(jiǎn)單，但玩起來并沒有那么容易，還是不能輕易掉以輕心。這個(gè)游戲能夠提升玩家的數(shù)學(xué)能力，以及邏輯思維能力，且游戲中涉及的小學(xué)和初中知識(shí)，特別適合學(xué)生們來鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)。

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5、《開心數(shù)獨(dú)》

《開心數(shù)獨(dú)》最主要的玩法和《數(shù)獨(dú)》是一樣的，只不過其中并非只有九宮格，還有更多類型的宮格，而且級(jí)別也很多，從入門到復(fù)雜，可以說是老少皆宜。

》》》》》#開心數(shù)獨(dú)#《《《《《

6、《數(shù)字華容道數(shù)字方塊合并》

《數(shù)字華容道數(shù)字方塊合并》這個(gè)游戲包含多種益智類的游戲，比如“2048”“掃雷”“數(shù)字華容道”等等，玩家們?cè)谝粋€(gè)游戲里可以享受到多種游戲玩法，可以說是一種全新的體驗(yàn)。

》》》》》#數(shù)字華容道數(shù)字方塊合并#《《《《《

7、《數(shù)學(xué)零點(diǎn)HD》

《數(shù)學(xué)零點(diǎn)HD》這個(gè)游戲的規(guī)則很簡(jiǎn)單，就是將數(shù)字方塊和運(yùn)算符運(yùn)用起來，使之等于0，從而使方塊全部消失。剛開始的時(shí)候數(shù)字和運(yùn)算符都很少，所以很簡(jiǎn)單，但是玩到后面就會(huì)發(fā)現(xiàn)越來越難，所以這是一款需要玩家集中注意力，動(dòng)用腦力的游戲。

》》》》》#數(shù)學(xué)零點(diǎn)HD #《《《《《

以上就是小編給大家推薦的2022數(shù)學(xué)游戲有哪些，這一類游戲的畫面簡(jiǎn)單，需要玩家有一定的邏輯能力和思維能力，對(duì)數(shù)學(xué)游戲感興趣的玩家還在等什么呢？趕緊點(diǎn)擊下載來試試看吧！

今天小編將會(huì)給夢(mèng)幻模擬戰(zhàn)的伙伴們帶來青春的實(shí)踐課通關(guān)攻略內(nèi)容喲，還不知道具體打發(fā)的小伙伴們，都將可以把此次的游戲目光放入其中，以便可以讓你輕松完成好此次的戰(zhàn)斗挑戰(zhàn)，贏下到豐富的游戲獎(jiǎng)勵(lì)喲，快快前往以下資訊內(nèi)容掌握吧。

夢(mèng)幻模擬戰(zhàn)青春的實(shí)踐課打法攻略

1、過關(guān)思路：波波放黑洞的時(shí)候，奶騎要提前用技能打BOSS上禁療。波波放暗鐮的時(shí)候，莉亞娜提前上個(gè)福音防暈。要小心黑洞和被動(dòng)AOE的連招，很容易死人。假波波要盡快打死，不然BUFF疊多了很麻煩。

2、【花坦單挑思路】花T單挑BOSS，其他人躲開黑洞的范圍，這樣波波就不會(huì)放黑洞了，而且全程只招一次假波波。注意莉亞娜給花T上福音防暈，奶騎上被動(dòng)回血，拉娜偶爾幫忙清一下小怪，其他時(shí)候都待機(jī)就行了。的隨機(jī)點(diǎn)就是小怪，可以用時(shí)鐘幫忙刷到拉娜可以秒的位置上，剩下的就可以抄作業(yè)了。

小編簡(jiǎn)評(píng)：

以上將會(huì)是小編此次所帶來的夢(mèng)幻模擬戰(zhàn)青春的實(shí)踐課通關(guān)攻略，還沒有通關(guān)的小伙伴們，都將可以跟隨小編的思路進(jìn)行闖關(guān)，以便可以讓你成功贏下到最終的比賽勝利。

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如果我們教與樂趣的孩子，他們會(huì)學(xué)到什么東西非?？於粏握{(diào)乏味和捕獲所有的東西非?？臁?ABC閃存卡是一款非常不錯(cuò)的游戲?yàn)橛變?，教他們用不同的方式字母。不同的單詞每個(gè)字母都會(huì)顯示為動(dòng)畫圖像和聲音來。輕觸單詞圖像按給定的指示，展現(xiàn)出驚人的動(dòng)畫。準(zhǔn)備好學(xué)習(xí)與樂趣與這個(gè)驚人的教育孩子的游戲。關(guān)于GameivaGameIva為您帶來最新創(chuàng)作或親人大多數(shù)類別的游戲和應(yīng)用程序，它們都非常受孩子們的喜愛。我們完全致力于建設(shè)與樂趣和學(xué)習(xí)更好的教育familiarities和享受為孩子們的人性化的游戲。留在我們?cè)诠雀柰孀钚碌母禄騁ameIva，并獲得更多的還是益智游戲。到達(dá)我們：https://www.gameiva.com/跟隨我們谷歌加：https://plus.google.com/u/1/103216636896495275888/posts像我們：https://www.facebook.com/GameivaGames跟隨我們：https://twitter.com/gameivagames觀看我們的比賽錄像：https://www.youtube.com/channel/UCi8kgM_D4XgQPgYYA8BPnKA我們將與您的回復(fù)光滑。隨時(shí)聯(lián)系我們?cè)趙ecare@gameiva.com任何問題和建議

看了上邊的ABC閃存卡為孩子游戲介紹，各位玩家是否都了解了這款手游全部玩法特點(diǎn)系統(tǒng)分析介紹，知道ABC閃存卡為孩子怎么玩，好不好玩呢!快來九游下載玩游戲吧！

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學(xué)習(xí)單詞的完全新的集合從AZ的所有字母。該動(dòng)畫奇怪的字符為每個(gè)對(duì)象，動(dòng)物和鳥類的每個(gè)字母會(huì)幫助你理解的話更容易。從提高這些教育字母表游戲你的詞匯和學(xué)習(xí)單詞的所有字母和很多在同一時(shí)間。學(xué)習(xí)后，所有的話，你開始韻的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并帶齊教育押韻，如字母童謠等等唱歌。

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導(dǎo)讀：期待已久的熱門手游3合1閃存卡火爆來襲啦！這款手機(jī)游戲吸引了大批游戲玩家的的關(guān)注，有很多玩家都在問九游小編3合1閃存卡好玩嗎？想知道這款手游怎么樣？今天小編就來說一下3合1閃存卡游戲介紹，帶各位玩家詳細(xì)了解一下這款手機(jī)游戲的所有玩法特點(diǎn)系統(tǒng)分析介紹，你就會(huì)知道3合1閃存卡究竟怎么樣，好不好玩了！

3合1閃存卡是一個(gè)為幼兒的學(xué)習(xí)工具。這個(gè)應(yīng)用程序是非常容易使用。你的孩子可以選擇學(xué)習(xí)ABC，數(shù)字1到10和形狀。

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